题解 P4159 【[SCOI2009]迷路】

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该有向图有 $n$ 个节点，节点从 $1$ 至 $n$ 编号，windy 从节点 $1$ 出发，他必须恰好在 $t$ 时刻到达节点 $n$。

现在给出该有向图，你能告诉 windy 总共有多少种不同的路径吗？

答案对 $2009$ 取模。

注意：windy 不能在某个节点逗留，且通过某有向边的时间严格为给定的时间。

$2 \leq n \leq 10$，$1 \leq t \leq 10^9$。

首先考虑边权只有$0,1$的情况。这时候只需要$Floyd$矩阵进行矩阵乘法即可，但是这道题的边权并不是$0,1$，那么我们能不能让$Floyd$矩阵中的每个单位存大于$1$的边权，然后矩乘呢？

不能

也就是说在$Floyd$矩阵中每个单位的值只能是$0$或$1$，但是我们发现$2 <= N <= 10$，这意味着我们可以乱搞将每个点都拆开，将这张图转化成边权只有$0,1$的图，这样上面的意义就成立了。

我们发现可以将每个点拆成$9$个点，令有序数对$(i,j)$表示点$i$拆成的第$j$个点，其中第$0$个点是“真”点，其余的是“假”点。

我们可以令 $(i,j)$表示到“真”点$(i,0)$的距离为j的“假”点，只要让$(i,j)$向$(i,j-1)$连一条边权为$1$的边。

而对于原图中的一条$u→v $边权为$w$的边，只要让$(u,0)$向$(v,w−1)$连一条边权为$1$的边。

这样我们就还原了原图中的边，并且将边权都转化成了$0,1$。

而每个$(i,j)$又可以唯一对应一个编号$(i-1)9+j$，因此原矩阵就变成了一个 $9n9n$的矩阵$ f$.

答案就是$f[0][n-9]$即点$1$的真点与点$n$的真点

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#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define re register
#define mod 2009
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
char s[400][400];
int f[400][400],now[400][400],t[400][400],ans[400][400];
int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;++i)
        scanf("%s",s[i]+1);
    for (int i=1;i<=n;++i)
        for (int j=1;j<=n;++j)
            if (s[i][j]!='0'){
                now[(i-1)*9][(j-1)*9+s[i][j]-'0'-1]=1;
            }
    for (int i=1;i<=n;++i)
        for (int j=1;j<=8;++j){
            now[(i-1)*9+j][(i-1)*9+j-1]=1;
        }
    int ttt=m;n*=9;
    for (int i=0;i<=n;++i)ans[i][i]=1;
    while (ttt>0){
        if (ttt&1){
            memset(t,0,sizeof(t));
            for (re int i=0;i<=n;++i)
                for (re int j=0;j<=n;++j)
                    for (re int k=0;k<=n;++k)
                        t[i][j]=(t[i][j]+now[i][k]*ans[k][j])%mod;
            for (re int i=0;i<=n;++i)
                for (re int j=0;j<=n;++j)
                    ans[i][j]=t[i][j];
        }
        ttt>>=1;
        memset(t,0,sizeof(t));
        for (re int i=0;i<=n;++i)
            for (re int j=0;j<=n;++j)
                for (re int k=0;k<=n;++k)
                    t[i][j]=(t[i][j]+now[i][k]*now[k][j])%mod;
        for (re int i=0;i<=n;++i)
            for (re int j=0;j<=n;++j)
                now[i][j]=t[i][j];
    }
    printf("%d",ans[0][n-9]);
    return 0;
}